$\Delta PQR$ में,$\overline{PM}$ एक शीर्षलंब (altitude) है। यदि $PM^2 = QM \times RM$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ और $PM^2 = QM \times RM$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण से,हमें $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $\Delta PMQ$ और $\Delta RMP$ में,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (क्योंकि $\overline{PM}$ एक शीर्षलंब है)।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर हैं: $\angle QPM = \angle PRM$ और $\angle PQM = \angle RPM$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है। अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ है।
चरण $6$: कोणों का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: चूंकि $\angle QPM = \angle R$ और $\angle RPM = \angle Q$ है,इसलिए $\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,जिसे सरल करने पर $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ प्राप्त होता है,अतः $\angle Q + \angle R = 90^\circ$ है।
चरण $8$: इसलिए,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ है। अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।